Зачет №4 по теме «Окружность»
Проверка теоретических знаний.
У доски: доказать свойство касательной к окружности, теоремы о вписанном угле, об отрезках пересекающихся хорд, о серединном перпендикуляре к отрезку, об окружностях, вписанной в треугольник и описанной около треугольника.
Класс (фронтальная беседа).
Взаимное расположение прямой и окружности. Определение касательной к окружности и ее свойство. Какой угол называется центральным? Какой угол называется вписанным? Чему равна его градусная мера? Четыре замечательные точки треугольника. Какая окружность называется вписанной? Описанной? Какой многоугольник называется описанным? Вписанным? Каким свойством обладают стороны четырехугольника, описанного около окружности? Каким свойством обладают углы четырехугольника, вписанного в окружность? Сформулируйте теорему об отрезках пересекающихся хорд.
Т-1.Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание.
ВАРИАНТ 1.
1. Точка, равноудаленная от всех точек окружности, называется ее... .
2. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее....
3. Все радиусы окружности....
4. На рисунке 0(r) - окружность, АВ - касательная к ней; точка В называется....
6. Угол между касательной к окружности и радиусом, проведенным в точку касания, равен....
7. На рисунке АВ - диаметр окружности, С - точка, лежащая на окружности. Треугольник АСВ... (вид треугольника).
8. На рисунке АВ = 2ВС, АВ - диаметр окружности. Угол CAB равен....
9.На рисунке хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Угол ACD равен углу....
10.На рисунке О - центр окружности. Дуга АmВ равна 120°. Угол АВС равен.
11.На рисунке АК = 24 см, KB = 9 см, CK = 12 см. Тогда KD = ...
12*. На рисунке АВ = ВС = 13 см, высота BD = 12 см. Тогда ВК = ... , КС = ... .
ВАРИАНТ 2.
1. Геометрическая фигура, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от заданной точки, называется....
2. Хорда, проходящая через центр окружности, называется....
3. Все диаметры окружности....
4. На рисунке 0(г) - окружность, В - точка касания прямой АВ и окружности. Прямая АВ называется... к окружности.
6. Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, ....
7. На рисунке АВ - касательная, ОА - секущая, проходящая через центр окружности. Треугольник ОВА... (вид треугольника).
8. На рисунке ОС = СА, АВ - касательная к окружности с центром О. Угол ВАС равен....
9. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке К. Угол ADC равен углу....
10. На рисунке О - центр окружности, угол СВА равен 40°. Дуга СmВ равна....
11. На рисунке AM = 15 см, MB = 4 см, MC = 3 см. Тогда DM = ... .
12*. На рисунке АВ = ВС, BD - высота треугольника АВС, ВК = 8 см, КС = 5 см. Тогда BD= ..., DC = ... .
Т-2.Установите, истинны или ложно следующие высказывания.
ВАРИАНТ 1.
1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.
2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
3. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAC = Ð DВС.
4. Всякая прямая, проходящая через середину хорды окружности, перпендикулярна к ней.
5. Луч касается окружности, если он имеет с ней только одну общую точку.
6. На рисунке АВ - диаметр окружности, Ð 1 = 30°. Тогда Ð 2 = 60°.
7. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAB = Ð DOB.
8. На рисунке О - центр окружности. Если ÈВС = 60°, то Ð СВА = 60°.
9. На рисунке диаметр АВ окружности равен 10 см, хорда АС = 8 см. Тогда площадь треугольника АВС равна 24 см2.
10. Две хорды окружности АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = 16 см, ВО = 9 см, OD = 24 см. Тогда СО = 6 см.
11*. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки 5 см и 8 см, считая от основания. Тогда площадь треугольника равна 60 см2.
ВАРИАНТ 2.
1. Прямая, расстояние до которой от центра окружности равно радиусу этой окружности, является касательной к ней.
2. Радиус, проведенный в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой.
3. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAC = Ð DBC.
5. Отрезок касается окружности, если он имеет с ней только одну общую точку.
6. На рисунке АВ - диаметр окружности. Тогда если Ð 2 = 50°, то Ð1 = 40°.
7. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð АВС = ÐАОС.
8. На рисунке О - центр окружности. Тогда если ÐCAB - 60°, то È AC = 60°.
9. На рисунке диаметр BD окружности равен 13 см. Тогда если хорда ВС = 5 см, то площадь треугольника CBD равна 30 см2.
10. Две хорды окружности АВ и CD пересекаются в точке М так, что MB = 3 см, МА = 28 см, СМ = 21 см. Тогда MD = 4 см.
11*. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки 4 см и 6 см, считая от вершины. Тогда площадь этого треугольника равна 48 см2.
Т-3.В каждом задании установите верный ответ из числа предложенных.
ВАРИАНТ 1.
1.На рисунке дуга АС равна 84°. Чему равен угол АВС, опирающийся на эту дугу?
А) 84°; Б) 42°; В) не знаю.
2. На рисунке угол МРК равен 88°. Чему равна дуга МК, на которую опирается угол МРК?
А) 88°; Б) 176°; В) не знаю.
3. Из точки А, находящейся на расстоянии двух радиусов от центра окружности, проведена касательная АВ. Чему равен угол ОАВ?
А) 60°; Б) 30°; В) не знаю.
4. Из точки М окружности проведены две хорды МА и MB. Хорда МА стягивает дугу, равную 80°, а угол АМВ равен 70°. Определите дугу, стягиваемую хордой MB.
А) 210°; Б) 140°; В) не знаю.
5. На рисунке диаметр АВ окружности равен 10 см, хорда ВС = 6 см. Найдите площадь треугольника АСВ.
А) 30 см2; Б) 24 см2; В) не знаю.
6. Из точки К окружности с центром О проведены две взаимно перпендикулярные хорды КМ и KD. Расстояние от точки О до хорды КМ равно 15 см, а до хорды KD равно 20 см. Каковы длины хорд КМ и KD7
A) 30 см и 40 см; Б) 15 см и 20 см; B) не знаю.
7. Две хорды АВ и CD точкой О их пересечения делятся так, что АО = 9 см, OB = 6 см, СО = 3 см. Какова длина отрезка OD7
А) 12 см; Б) 18 см; В) не знаю.
8. Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секущая АС, проходящая через центр окружности. Расстояние от А до окружности равно 4 см, а диаметр окружности равен 12 см. Какова длина касательной?
А) 8 см; Б) 6 см; В) не знаю.
9*. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. Найдите расстояние от точки В до окружности, если длина касательной равна 12 см.
А) 7 см; Б) 8 см; В) не знаю.
ВАРИАНТ 2.
1. На рисунке дуга АВ равна 164°. Чему равен угол АСВ, опирающийся на эту дугу?
А) 168°; Б) 82°; В) не знаю.
2. На рисунке угол АВС равен 44°. Чему равна дуга АС, на которую опирается угол АВС?
А) 88°; Б) 44°; В) не знаю.
3. Из точки М, находящейся на расстоянии двух радиусов от центра окружности, проведена касательная МК. Чему равен угол КОМ?
А) 60°; Б) 30°; В) не знаю.
4. Из точки А окружности проведены две хорды AM и АВ. Хорда AM стягивает дугу, равную 120°, а угол МАВ равен 80°. Определите величину дуги, стягиваемую хордой АВ.
А) 80°; Б) 120°; В) не знаю.
5. На рисунке диаметр АС окружности равен 13 см, хорда AB = 12 см. Найдите площадь треугольника АСВ.
А) 78 см2; Б) 30 см2; В) не знаю.
6. Из точки А окружности с центром О проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС. Расстояние от точки О до хорды АВ равно 40 см, а до хорды АС равно 25 см. Каковы длины хорд АВ и АС?
A) 25 см и 40 см; Б) 50 см и 80 см; B) не знаю.
7. Две хорды МК и CD точкой Р их пересечения делятся так, что МР = 8 см, PC = 4 см. КР = 16 см. Какова длина отрезка PD.
А) 24 см; Б) 32 см; В) не знаю.
8. Из точки М к окружности проведены касательная МА и секущая МС, проходящая через центр окружности О. Расстояние от М до центра О равно 20 см, радиус окружности равен 12 см. Чему равна длина касательной?
А) 16 см; Б) 24 см; В) не знаю.
9*. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке В. Найдите длину касательной, если расстояние от точки А до окружности равно 8 см.
А) 13 см; Б) 12 см; В) не знаю.
Карточки для индивидуальной работы.
Карточка 1.
1. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Сформулируйте свойство и признак касательной.
2. Отрезок BD - высота равнобедренного треугольника AВС с основанием АС. На какие части окружность с центром В и радиусом BD делит боковую сторону треугольника если АВ= см, BD=5 см?
3. На рисунке изображен прямоугольный треугольник AВС, стороны которого касаются окружности радиуса 1 см. На какие отрезки точка касания делит гипотенузу треугольника, равную 5 см?
Карточка 2.
1. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте теорему о вписанном угле.
2. Вершины треугольника со сторонами 2 см, 5 см и 6 см лежат на окружности. Докажите, что ни одна из сторон треугольника не является диаметром этой окружности.
3. На рисунке изображена окружность с центром О, АВ - касательная, а АС - секущая этой окружности. Найдите углы треугольника АВС, если ÈBD=62°.
Карточка 3.
1. Сформулируйте теорему об отрезках пересекающихся хорд.
2. Хорды KL и MN окружности пересекаются в точке А. Найдите АК и AL, если АМ=2 дм, AN=6 дм, KL=7 дм.
3. На рисунке изображена окружность с центром О, АС - диаметр, а ВС - касательная к этой окружности. На какие части отрезок АВ делится точкой D, если АС=20 см, ВС=15 см?
Карточка 4.
1. Сформулируйте теорему об окружности, вписанной в треугольник.
2. Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, боковая сторона равна 17 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Карточка 5.
1. Сформулируйте утверждение о свойстве описанного четырехугольника. Верно ли обратное утверждение?
2. Найдите площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, если боковые стороны этой трапеции равны 10 см и 16 см.
3. Площадь четырехугольника ABCD, описанного около окружности радиуса 5 дм, равна 90. Найдите стороны СD и AD этого четырехугольника, если AB=9 дм, ВС=10 дм.
Карточка 6.
1. Сформулируйте теорему об окружности, описанной около треугольника.
2. Постройте окружность, описанную около данного тупо угольного треугольника.
3..jpg" width="115 height=147" height="147">
Кроссворд.
По горизонтали: 1. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки. 2. Отображение плоскости на себя. 3. Удвоенный радиус.
По вертикали: 4. Единица измерения угла или 1/60 минуты. 5. Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности круга. 6. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности. 7. Определение точки окружности.
Примечание: в разработке использованы материалы из газеты «Математика».
Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением . Мы уже встречались с определениями, например с определением угла, смежных углов, равнобедренного треугольника и т. д. Дадим определение ещё одной геометрической фигуры - окружности.
Определение
Данная точка называется центром окружности , а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности (рис. 77). Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.
Рис. 77
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром .
На рисунке 78 отрезки АВ и EF - хорды окружности, отрезок CD - диаметр окружности. Очевидно, диаметр окружности в два раза больше её радиуса. Центр окружности является серединой любого диаметра.
Рис. 78
Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 79 ALB и АМВ - дуги, ограниченные точками А и В.
Рис. 79
Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем (рис. 80).
Рис. 80
Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться верёвкой (рис. 81).
Рис. 81
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (рис. 82).
Рис. 82
Построения циркулем и линейкой
Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертёжным угольником.
Оказывается, что многие построения можно выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов.
Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку . Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение:
построить угол, равный данному;
через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;
разделить данный отрезок пополам и другие задачи.
Начнём с простой задачи.
Задача
На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
Решение
Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ (рис. 83, а). Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О (рис. 83, б). Эта окружность пересечёт луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD - искомый.
Рис. 83
Примеры задач на построение
Построение угла, равного данному
Задача
Отложить от данного луча угол, равный данному.
Решение
Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 84. Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ.
Рис. 84
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 85, а). Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начете данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ - искомый.
Рис. 85
Рассмотрим треугольники АВС и ODE. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а отрезки OD и ОЕ - радиусами окружности с центром О (см. рис. 85, б). Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построению ВС = DE.
Следовательно, Δ АВС = Δ ODE по трём сторонам. Поэтому ∠DOE = ∠BAC, т. е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.
То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться верёвкой.
Построение биссектрисы угла
Задача
Построить биссектрису данного угла.
Решение
Данный угол ВАС изображён на рисунке 86. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А. Она пересечёт стороны угла в точках В и С.
Рис. 86
Затем проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим её буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла ВАС.
Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трём сторонам. В самом деле, АЕ - общая сторона; АС и АВ равны как радиусы одной и той же окружности; СЕ = BE по построению.
Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что ∠CAE = ∠BAE, т. е. луч АЕ - биссектриса данного угла ВАС.
Замечание
Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на два равных угла? Ясно, что можно, - для этого нужно провести биссектрису этого угла.
Данный угол можно разделить также на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить ещё раз пополам.
А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла , в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в XIX веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.
Построение перпендикулярных прямых
Задача
Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Решение
Данная прямая а и данная точка М, принадлежащая этой прямой, изображены на рисунке 87.
Рис. 87
На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.
Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР (см. рис. 87), и докажем, что эта прямая - искомая, т. е. что она перпендикулярна к данной прямой а.
В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то PM ⊥ а.
Построение середины отрезка
Задача
Построить середину данного отрезка.
Решение
Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. Проведём прямую PQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.
В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам, поэтому ∠1 =∠2 (рис. 89).
Рис. 89
Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О - середина отрезка АВ.
Задачи
143. Какие из отрезков, изображённых на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности?
Рис. 90
144. Отрезки АВ и CD - диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.
145. Отрезок МК - диаметр окружности с центром О, а МР и РК - равные хорды этой окружности. Найдите ∠POM.
146. Отрезки АВ и CD - диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.
147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ - прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.
148. На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча В А отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.
149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы BM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
151. Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.
152. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.
153. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.
Решение
Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая - искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а.
Рис. 91
В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С - точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN ⊥ АВ, т. е. MN ⊥ а.
154. Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника. 155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30".
Ответы к задачам
152. Указание. Сначала построить биссектрису угла АОВ.
«Компьютерный рисунок» - Компьютерная графика. Штрих. вот оружие художника. Задачи: Итог урока кроссворд «Мельница». Гравюра. Главное выразительное средство рисунка- линия. Учился в Московской школе живописи, затем в Строгановском училище. Карандаш. Иллюстрация к книге. Интегрированный урок: изобразительное искусство + информатика.
«Сохранение рисунков» - Какую команду выбрать? Все ваши файлы предлагается хранить в специальной папке «Мои документы». Перемещение с помощью мыши, копирование (CTRL), удаление (DELETE). Практическая работа «Сохранение рисунка на жёстком диске». Для хранения информации на компьютере используется долговременная память – жёсткий диск.
«Редактирование рисунков» - 1. Выделить необходимую область выделение произвольная область 2. Скопировать. Рисование окружности,квадрата, прямой линии. Рисунок очистить Выделить область для удаления Delete. Окружность Квадрат Прямая линия. Копирование. Установка параметров рисунка. Создание и редактирование рисунка. Создание рисунка.
«3d рисунки на асфальте» - Филипп Козлов - первый русский мадоннари. В молодости Курт Веннер работал художником-иллюстратором в NASA, где создавал первоначальные изображения будущих космических кораблей. 3d рисунки на асфальте. Курт Веннер – один из самых известных уличных художников, который рисует 3D рисунки на асфальте при помощи обычных мелков.
«Луч прямая отрезок» - Точка О - начало луча. Точки С и Д – концы отрезка СД. S. Точка. Прямая, Отрезок, Луч. Точка, Отрезок. Прямая. Числа - координаты точек: Луч PM. Координатный. Назовите отрезки, прямые и лучи, изображенные на рисунке. Отрезок ОЕ - единичный отрезок, ОЕ=1. Луч FR.
«Длина окружности» - Диаметр. Найдите длину окружности этого диска. Найдите площадь циферблата. Длина окружности. Чему равен диаметр Луны. Число "пи" называют Архимедово число. Найдите диаметр колеса. Найдите диаметр и площадь арены. Найдите диаметр колеса тепловоза. Москва. Великий древнегреческий математик Архимед.
Данный видеоурок создан специально для самостоятельного изучения темы «Окружность». Учащиеся смогут узнать строгое геометрическое определение окружности. Учитель подробно разберет решение нескольких типовых задач на построение окружности.
Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые равноудалены от заданной точки.
На рисунке 1 изображена окружность.
Рис. 1. Окружность
Сокращенная запись заданной окружности - это Окр (O, r), что читается: «Окружность с центром в точке О и радиусом r». Точка, от которой остальные точки являются равноудаленными, называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр и точку, лежащую на окружности, называется радиусом . Если соединить две точки, лежащие на окружности, можно провести отрезок, который называется хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .
Таким образом, существуют следующие обозначения:
О - центр окружности;
OM = r - радиус окружности;
OM = ON = r - радиусы окружности;
MN - хорда;
АМ - диаметр;
АM = 2r - связь между радиусом и диаметром.
Любые две точки рассекают окружность на две дуги, например: дуги NLM и NAM для заданных точек N и M.
Пример 1: На рисунке 2 изображена окружность. Определить центр, радиус, хорды, диаметр и возможные дуги.
Решение:
Рис. 2. Чертеж к примеру 1
Определим основные элементы данной окружности:
О - центр окружности;
OE = OD = OA = OC - радиусы окружности;
EF, BA - хорды;
DС - диаметр.
В данный момент вспомним определение круга. Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. Совершенно понятно, что различие окружности от круга следующее: окружность - это линия, а круг - это часть плоскости, которую ограничивает данная линия. К примеру, на рисунке 3 изображен круг.
Рис. 3. Круг
Пример 2: На рисунке изображена окружность с диаметрами АВ и СD. Докажите, что хорды АС и BD равны. Докажите, что хорды ВС и АD равны. Докажите, что углы BАD и BСD равны.
Рис. 4. Чертеж к примеру 2
Решение:
Для начала выясним, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как указанные отрезки - радиусы одной и той же окружности. Будем доказывать указанные утверждения цепочками треугольников. Например, по первому признаку, так как ОВ = ОА как радиусы, СО = ОD аналогично, 
как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АС = ВD.
Далее докажем, что аналогично по первому признаку. ОD = ОА, СО = ОВ как радиусы, а 
как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АD = ВC.
Далее докажем, что 
по третьему признаку. BD - общая сторона у треугольников, АD = CВ по доказанному утверждению в п. 2, АВ = СD как диаметры окружности. Из равенства треугольников следует, что 
.
Что и требовалось доказать.
Пример 3: отрезок МК - диаметр окружности, а РМ и РК - равные хорды. Найдите угол РОМ.
Рис. 5. Чертеж к примеру 3
Решение:
По определению, - равнобедренный, так как РК = РМ. Поскольку ОК - ОМ - радиусы окружностей, то РО - медиана, проведенная к основанию . По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой, соответственно,.
- Справочный портал calc.ru ().
- № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
- Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.
- Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
- Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
